← Mục lục
Làm toán AI ✍️ · Toán × AI
Phiếu in A4 · tính tay
Mức: nhập môn · Phần A
Bài A9

Định thức & nghịch đảo 2×2 — Determinant & inverse

Họ tên: Ngày: Thời gian: ~12 phút
Vì sao quan trọng. Khi nào một biến đổi tuyến tính có thể hoàn tác? Khi nó không làm "bẹp" không gian — tức det ≠ 0. Định thức cho biết điều đó; nghịch đảo là phép đảo ngược, dùng để giải hệ Ax = b, đổi cơ sở, ổn định số học.
A = [[a, b], [c, d]]  ⇒  det A = ad − bc
A⁻¹ = (1/det) · [[ d, −b], [−c, a]]   (khi det ≠ 0)
💡 Trực giác Hai cột của A là hai mũi tên; chúng căng ra một hình bình hành. Định thức = diện tích hình đó (có dấu). Nếu hai cột thẳng hàng → diện tích 0 → không gian bị ép phẳng → không đảo ngược được.
0

Cho sẵn ma trận A

2×2
A 2×2
2
1
1
1
Ký hiệu: a = trái-trên, b = phải-trên, c = trái-dưới, d = phải-dưới.
1

Định thức = ad − bc

chéo chính − chéo phụ
det = 2·1 − 1·1 =
Vì sao: ad − bc đo diện tích (có dấu) hình bình hành hai cột; det ≠ 0 ⇒ khả nghịch.
2

Ma trận phụ hợp — đổi chéo, đổi dấu lệch

adj
adj [[d,−b],[−c,a]]
Đổi chỗ a↔d (đường chéo chính); đổi dấu b và c (đường chéo phụ).
Nhớ: "đổi chéo, đổi dấu lệch".
3

Chia cho det → A⁻¹

nghịch đảo
A⁻¹ (1/1)·adj
Vì sao: chia cho det để A·A⁻¹ ra đúng ma trận đơn vị (phóng đại × thu nhỏ = 1).
4

Kiểm: A·A⁻¹ = I

xác nhận
A·A⁻¹
Nhân thử để ra [[1,0],[0,1]]. Nếu det = 0 thì bước ③ chia cho 0 ⇒ không có nghịch đảo (ma trận suy biến).
✎ Tự kiểm tra
  1. det A = 0 nghĩa là gì? →
  2. Về hình học, |det| là gì? →
Làm toán AI ✍️ — Bài A9 · Định thức & nghịch đảoTrang 1/2 · ĐỀ
Làm toán AI ✍️ · Toán × AI
ĐÁP ÁN
Bài A9

Định thức & nghịch đảo 2×2 — lời giải

1

Định thức

det = 2·1 − 1·1 = 1
2

Phụ hợp & nghịch đảo

adj
1
−1
−1
2
A⁻¹ = (1/1)·adj
1
−1
−1
2
3

Kiểm A·A⁻¹ = I

A·A⁻¹
1
0
0
1
▦

Sơ đồ: det = diện tích hình bình hành hai cột

minh họa
Hai mũi tên = hai cột của A: lam (a, c) và cam (b, d). Diện tích vùng tô = |det| = 1. Hai cột thẳng hàng ⇒ diện tích 0 ⇒ det 0 ⇒ không nghịch đảo được.
✎ Tự kiểm tra — đáp án
  1. det A = 0? → A suy biến — không khả nghịch (hai cột phụ thuộc).
  2. |det| là gì? → Diện tích hình bình hành do hai cột tạo ra (hệ số phóng đại diện tích).
Rút ra. det cho biết biến đổi có đảo ngược được không; A⁻¹ là phép đảo. Hai khái niệm này đứng sau việc giải hệ phương trình. Bài tiếp (A10): giải Ax = b cỡ 2×2 bằng khử Gauss.
Làm toán AI ✍️ — Bài A9 · Định thức & nghịch đảoTrang 2/2 · ĐÁP ÁN