Ma trận × vectơ — Matrix–vector product

Họ tên: Ngày: Thời gian: ~12 phút

Vì sao quan trọng. Một lớp mạng nơ-ron chính là một phép ma trận × vectơ: mỗi hàng của W là một nơ-ron "chấm điểm" đầu vào x. Hiểu phép này là hiểu cách tín hiệu đi qua một lớp (chỉ còn thiếu bias).

(A·x)_i = Σ_j A_ij · x_j | A là m×n, x là n ⇒ kết quả là vectơ m chiều

💡 Trực giác Mỗi hàng của A là một "câu hỏi" có trọng số; nhân với x = cho điểm x theo câu hỏi đó. m hàng → m điểm → một vectơ m chiều. Cách nhìn khác: kết quả = trộn các cột của A theo hệ số là các thành phần của x.

Cho sẵn A và x

A 3×2 · x 2

A ~~3×2~~

x 2

Số cột của A (=2) phải khớp số chiều của x (=2) thì mới nhân được.

Từng hàng × x — ba tích vô hướng

theo hàng

hàng1·x = 1·2 + 2·1 =
hàng2·x = 3·2 + 4·1 =
hàng3·x = 0·2 + 1·1 =

Vì sao: mỗi hàng cho một thành phần kết quả, độc lập nhau; số hàng của A quyết định số chiều đầu ra.

Gom thành vectơ kết quả

A·x

A·x = ( , , )

Kiểm thứ nguyên

dim

(3×2)·(2) → vectơ chiều

Số cột A phải bằng số chiều x; chiều kết quả = số hàng A.

Góc nhìn "trộn cột"

tổ hợp tuyến tính

A·x = 2·cột1 + 1·cột2 = 2·(1, 3, 0) + 1·(2, 4, 1)
= ( , , )

Vì sao: kết quả luôn là tổ hợp các cột của A → luôn nằm trong không gian sinh bởi các cột đó.

✎ Tự kiểm tra

A là m×n, x là n chiều → kết quả mấy chiều? →
A·x có bằng x·A không? →

Làm toán AI ✍️ — Bài A8 · Ma trận × vectơTrang 1/2 · ĐỀ

Làm toán AI ✍️ · Toán × AI

ĐÁP ÁN

Bài A8

Ma trận × vectơ — lời giải

Ba tích vô hướng theo hàng

hàng1·x = 1·2 + 2·1 = 4
hàng2·x = 3·2 + 4·1 = 10
hàng3·x = 0·2 + 1·1 = 1

Vectơ kết quả

A·x = ( 4, 10, 1 )

Thứ nguyên

(3×2)·(2) → vectơ 3 chiều (= số hàng A).

▦

Sơ đồ: mỗi hàng → một thành phần

minh họa

Trộn cột: 2·(1,3,0) + 1·(2,4,1) = ( 4, 10, 1 )

Hàng 1 (lam), hàng 2 (cam), hàng 3 (tím) của A mỗi cái chấm với x cho một ô của kết quả cùng màu.

✎ Tự kiểm tra — đáp án

m×n nhân vectơ n → ? → m chiều (= số hàng).
A·x = x·A? → Nói chung không — thứ tự & kích thước khác nhau.

Rút ra. Ma trận × vectơ = nhiều tích vô hướng (theo hàng) hoặc trộn các cột (theo x) — hai cách nhìn cùng kết quả. Thêm bias là thành lớp tuyến tính thật (y = W·x + b). Bài tiếp (A9): khi nào một ma trận đảo ngược được — định thức & nghịch đảo 2×2.

Làm toán AI ✍️ — Bài A8 · Ma trận × vectơTrang 2/2 · ĐÁP ÁN