Vì sao quan trọng. Nhiều thuật toán hỏi "a đi theo hướng b bao nhiêu?": PCA giữ phần chiếu lên trục chính,
hồi quy bình phương nhỏ nhất chiếu y lên không gian cột, attention trộn Value theo trọng số. Phép chiếu trả lời bằng một
vectơ nằm trên đường b.
projb(a) = ( a·b / ‖b‖2 ) · b | độ dài bóng = a·b / ‖b‖
💡 Trực giác
Chiếu ánh nắng vuông góc xuống đường thẳng theo b: bóng của mũi tên a in trên đường đó chính là phép chiếu.
Nắng đứng bóng ⇒ phần vuông góc bị "ép phẳng", chỉ còn phần dọc theo b.
0
Cho sẵn hai vectơ
a, b
a
3
4
b
2
1
Chiếu a lên hướng b: tách a thành phần dọc b và phần vuông góc b.
1
Tích vô hướng a·b
a nghiêng về b
a·b = 3·2 + 4·1
= + =
Vì sao: a·b đo "mức a nghiêng về b"; chia tiếp cho độ dài b để ra hệ số chiếu công bằng.
2
Bình phương chuẩn ‖b‖²
khỏi căn
‖b‖2 = 2² + 1²
= + =
Mẹo: dùng ‖b‖² (không cần lấy căn) nên số đẹp hơn — đằng nào cũng chia.
3
Hệ số & vectơ chiếu
k·b
k = a·b / ‖b‖2 = / =
proj = k·b = ·(2, 1)
= (, )
Vì sao: nhân k với chính b để bóng nằm đúng trên đường b; k cho biết bóng dài gấp mấy lần b.
Làm toán AI ✍️ — Bài A5 · Phép chiếu vectơTrang 1/3 · ĐỀ
Làm toán AI ✍️ · Toán × AI
Phiếu in A4 · tính tay Phép chiếu — tiếp theo
Bài A5
Phép chiếu vectơ — vẽ bóng
4
Vẽ bóng của a lên b
tự chiếu
Vì sao: bóng là phần của a nằm trên đường b; đoạn nối từ đầu a xuống đường b vuông góc với b.
Tự kẻ vectơ chiếu (tím) dọc b dài bằng proj đã tính, và đoạn nét đứt vuông góc từ đầu a xuống đường b.
độ dài bóng = a·b/‖b‖ = .
✎ Tự kiểm tra
Phép chiếu của a lên b là một số hay một vectơ? →
Nếu a ⟂ b thì projb(a) bằng gì? →
Làm toán AI ✍️ — Bài A5 · Phép chiếu vectơTrang 2/3 · ĐỀ
Làm toán AI ✍️ · Toán × AI
ĐÁP ÁN
Bài A5
Phép chiếu vectơ — lời giải
1–2
Tích vô hướng & ‖b‖²
a·b = 3·2 + 4·1 = 10 |
‖b‖2 = 2² + 1² = 5
3
Hệ số & vectơ chiếu
k = 10/5 = 2 →
proj = 2·(2,1)
= (4, 2)
4
Hình học: bóng vuông góc
a = dọc + vuông góc
độ dài bóng = a·b/‖b‖ = 10/√5 ≈ 4.47
a (lam), b (cam),
proj (tím) dọc b. Phần vuông góc = a − proj =
(−1, 2) — nét đứt; nó ⟂ b.
✎ Tự kiểm tra — đáp án
Chiếu là số hay vectơ? → Một vectơ (nằm trên đường b).
a ⟂ b → Vectơ 0 (vì a·b = 0).
Rút ra. Phép chiếu tách a = (phần dọc b) + (phần vuông góc b). Giữ phần chiếu = nén dữ liệu
theo hướng quan trọng (PCA). Bài tiếp (A6): chuyển vị ma trận — lật hàng↔cột, thao tác đứng sau mọi tích vô hướng theo lô.
Làm toán AI ✍️ — Bài A5 · Phép chiếu vectơTrang 3/3 · ĐÁP ÁN