Vì sao quan trọng. "Chuẩn" (norm) là cách đo độ lớn của một vectơ — một con số nói vectơ "dài" bao nhiêu.
AI dùng nó khắp nơi: đo sai số, phạt trọng số quá lớn (regularization), và chuẩn hóa vectơ về độ dài 1.
‖x‖1 = Σ |xi| | ‖x‖2 = √( Σ xi2 )
💡 Trực giácL2 là đường chim bay — khoảng cách thẳng từ gốc tới đầu vectơ (định lý Pythagoras mở rộng nhiều chiều).
L1 là đường taxi — đi theo ô bàn cờ, cộng độ dài từng đoạn ngang–dọc, không cắt chéo.
0
Cho sẵn vectơ x
1×3
x 1×3
−2
3
6
Dấu của xᵢ không ảnh hưởng độ dài: L1 lấy trị tuyệt đối, L2 bình phương (cũng làm mất dấu).
1
Chuẩn L1 — cộng trị tuyệt đối
đường taxi
‖x‖1 = |−2| + |3| + |6|
= + +
=
Vì sao: mỗi |xᵢ| là quãng đi dọc một trục; cộng lại = tổng đường đi theo lưới. Dùng nhiều trong phạt L1 (đẩy trọng số nhỏ về 0).
2
Chuẩn L2 — bình phương, cộng, lấy căn
đường chim bay
Σ xi2 = (−2)² + 3² + 6²
= + +
=
‖x‖2 = √ =
Vì sao: bình phương → cộng → căn chính là Pythagoras cho n chiều; đây là độ dài "thật" của vectơ, và là khoảng cách Euclid quen thuộc.
✎ Tự kiểm tra
Chuẩn nào là khoảng cách "đường chim bay" (thẳng)? →
Nếu mọi xᵢ = 0 thì ‖x‖ bằng bao nhiêu? →
Làm toán AI ✍️ — Bài A2 · Độ dài & chuẩnTrang 1/2 · ĐỀ
Làm toán AI ✍️ · Toán × AI
ĐÁP ÁN
Bài A2
Độ dài & chuẩn — lời giải
1
Chuẩn L1
‖x‖1 = 2 + 3 + 6 = 11
2
Chuẩn L2
Σ xi2 = 4 + 9 + 36 = 49
‖x‖2 = √49 = 7
▦
Sơ đồ: L2 = cạnh huyền (Pythagoras)
2D
Với vectơ 2D (3, 4):
‖·‖2 = √(3²+4²) = √25 = 5
Hai cạnh góc vuông = thành phần; cạnh huyền cam = ‖x‖₂. Mở rộng lên 3+ chiều: cộng thêm bình phương rồi vẫn lấy căn.
✎ Tự kiểm tra — đáp án
Chuẩn nào là khoảng cách thẳng? → L2 (Euclid / đường chim bay)
Mọi xᵢ = 0 thì ‖x‖ = ? → 0 (chỉ vectơ-không có chuẩn 0)
Rút ra. Chuẩn biến cả một vectơ thành một con số độ lớn. L2 (đường chim bay) là độ dài hay gặp nhất.
Bài kế (A4) dùng đúng ‖a‖₂ và ‖b‖₂ này để tính cosine similarity = (a·b)/(‖a‖‖b‖) — đo hai vectơ "cùng hướng" tới đâu.
Chia một vectơ cho chính ‖x‖₂ của nó thì được vectơ dài đúng 1 (chuẩn hóa).
Làm toán AI ✍️ — Bài A2 · Độ dài & chuẩnTrang 2/2 · ĐÁP ÁN