Vì sao quan trọng. Softmax dùng eˣ để biến logit thành xác suất dương; cross-entropy dùng ln để phạt dự đoán sai.
Nắm tính chất exp/log giúp hiểu vì sao các công thức đó hoạt động, và tính nhẩm được kết quả.
ea+b = eᵃ · eᵇ ln(a·b) = ln a + ln b ln(eˣ) = x eln x = x
💡 Trực giácexp biến phép cộng thành phép nhân (tăng rất nhanh, luôn dương). log làm ngược lại: nén số lớn, biến
nhân thành cộng. Chúng là hai chiều của một cánh cửa — đi qua rồi đi ngược thì về chỗ cũ.
0
Bảng tra cho sẵn
tra cứu
x
0
1
2
3
eˣ
1
2.72
7.39
20.1
y
0.37
0.5
1
2.72
7.39
ln y
−1
−0.69
0
1
2
Mọi câu hỏi đều rơi đúng mốc trong bảng — chỉ việc tra, không cần máy tính.
1
Tính eˣ
luôn dương
e2 = ;
e0 =
Vì sao: eˣ luôn > 0 → dùng làm "điểm số dương" trong softmax (không có xác suất âm).
2
Tính ln
nén số
ln 1 = ;
ln 2.72 =
ln của số < 1 là âm → vì thế −ln p (loss) luôn ≥ 0.
3
Tính chất "cộng ↔ nhân"
eᵃ⁺ᵇ = eᵃ·eᵇ
e(1+1) = e¹·e¹ = 2.72·2.72 ≈ (= e² ✓)
Vì sao: nhờ "cộng↔nhân", softmax/CE rút gọn được; ln(eˣ) = x là lý do log-softmax gọn gàng.
Dự đoán đúng với xác suất 0.37 tốn khoảng từng ấy loss; p càng gần 1, loss càng gần 0.
✎ Tự kiểm tra
ln 1 = ? và e⁰ = ? →
ln(eˣ) = ? →
Làm toán AI ✍️ — Bài A18 · exp & logTrang 1/2 · ĐỀ
Làm toán AI ✍️ · Toán × AI
ĐÁP ÁN
Bài A18
exp & log — lời giải
1
eˣ
e2 = 7.39 ;
e0 = 1
2
ln
ln 1 = 0 ;
ln 2.72 = 1
3
Tính chất
e(1+1) = 2.72·2.72 ≈ 7.39 = e² ✓
4
Ví dụ cross-entropy
−ln(0.37) ≈ 1 nat
▦
Sơ đồ: eˣ và ln x là hàm ngược
đối xứng qua y=x
Đường lam = eˣ (tăng rất nhanh, luôn dương); đường cam = ln x (nén lại); chúng đối xứng qua y = x (đường đứt) — đúng nghĩa "hàm ngược".
✎ Tự kiểm tra — đáp án
ln 1, e⁰? → ln 1 = 0 ; e⁰ = 1.
ln(eˣ)? → = x (exp & log là hàm ngược của nhau).
Rút ra. exp tạo số dương (softmax), log nén & phạt (cross-entropy); "cộng↔nhân" là tính chất ta xài liên tục.
Bài tiếp (A19): chuẩn hóa dữ liệu (min-max & z-score) — đưa số về thang chuẩn trước khi vào mô hình.
Làm toán AI ✍️ — Bài A18 · exp & logTrang 2/2 · ĐÁP ÁN