← Mục lục
Làm toán AI ✍️ · Toán × AI
Phiếu in A4 · tính tay
Mức: nhập môn · Phần A
Bài A16

Xác suất, kỳ vọng, phương sai — Probability

Họ tên: Ngày: Thời gian: ~13 phút
Vì sao quan trọng. Mô hình AI nói bằng xác suất (softmax ra phân phối lớp). Để đo "trung bình mong đợi" và "độ bất định", ta dùng kỳ vọng và phương sai. Mọi hàm mất mát đều là một kỳ vọng trên dữ liệu.
Σ pᵢ = 1    E[X] = Σ pᵢ·xᵢ = μ    Var(X) = Σ pᵢ·(xᵢ − μ)² = E[X²] − μ²
💡 Trực giác Kỳ vọng = điểm cân bằng của bảng giá trị nếu mỗi giá trị nặng theo xác suất của nó (trung bình có trọng số). Phương sai = các giá trị trải rộng quanh điểm cân bằng đó cỡ nào (0 = chụm một chỗ).
0

Cho sẵn bảng phân phối

3 giá trị
x 123
p 0.50.30.2
p là xác suất của từng giá trị x; chúng phải không âm và tổng = 1.
1

Kiểm tổng xác suất

hợp lệ?
0.5 + 0.3 + 0.2 =
Vì sao: một phân phối hợp lệ phải tổng = 1; nếu không, mọi tính toán sau là vô nghĩa.
2

Kỳ vọng E[X] = μ

trung bình trọng số
μ = 0.5·1 + 0.3·2 + 0.2·3 =
Nhân từng cặp (p·x) rồi cộng — đúng là tích vô hướng p·x.
3

Phương sai qua E[X²] − μ²

mức trải
E[X²] = 0.5·1 + 0.3·4 + 0.2·9 =
Var = E[X²] − μ² = − 1.7² =
Vì sao: bình phương khoảng cách tới μ phạt giá trị xa; công thức E[X²] − μ² cho cách tính nhanh.
✎ Tự kiểm tra
  1. Tổng các xác suất phải bằng? →
  2. Var(X) = 0 nghĩa là gì? →
Làm toán AI ✍️ — Bài A16 · Xác suất, kỳ vọng, phương saiTrang 1/2 · ĐỀ
Làm toán AI ✍️ · Toán × AI
ĐÁP ÁN
Bài A16

Xác suất, kỳ vọng, phương sai — lời giải

1

Tổng xác suất

0.5 + 0.3 + 0.2 = 1 ✓
2

Kỳ vọng

μ = 0.5·1 + 0.3·2 + 0.2·3 = 1.7
3

Phương sai

E[X²] = 0.5·1 + 0.3·4 + 0.2·9 = 3.5
Var = 3.5 − 1.7² = 0.61  (σ = √Var ≈ 0.78)
▦

Biểu đồ cột xác suất & vạch μ

phân phối
Cột cao = xác suất lớn; vạch tím đứt = μ = 1.7 (điểm cân bằng). σ = √Var ≈ 0.78 là "bán kính trải" theo đơn vị x.
✎ Tự kiểm tra — đáp án
  1. Tổng xác suất? → 1.
  2. Var = 0? → X luôn nhận đúng một giá trị (không trải).
Rút ra. E[X] = trung bình có trọng số; Var = mức trải. Hai số này tóm tắt một phân phối. Bài tiếp (A17): hai phân phối rời rạc cốt lõi của AI — Bernoulli (2 lớp) và Categorical (K lớp).
Làm toán AI ✍️ — Bài A16 · Xác suất, kỳ vọng, phương saiTrang 2/2 · ĐÁP ÁN