Vì sao quan trọng. Mỗi lớp mạng là một hàm vectơ → vectơ. Để lan gradient qua lớp, ta cần biết mỗi đầu ra nhạy
thế nào với mỗi đầu vào — đúng là Jacobian. Nó là "gradient" cho hàm nhiều đầu ra.
f: ℝⁿ → ℝᵐ Jij = ∂fi / ∂xj (J là ma trận m×n)
💡 Trực giác
Jacobian xếp chồng các gradient: mỗi hàng là gradient của một đầu ra. Tại một điểm, nó là phép biến đổi tuyến tính
xấp xỉ hàm — cho biết một nhiễu nhỏ ở đầu vào lan ra đầu ra thế nào.
0
Cho sẵn hàm vectơ→vectơ
f: ℝ²→ℝ²
f₁ = x² + y , f₂ = x·y ; xét tại ( 1, 2 )
Hai đầu ra (f₁, f₂), hai đầu vào (x, y) → Jacobian là ma trận 2×2.
1
Hàng 1 = ∇f₁
đầu ra f₁
∂f₁/∂x = 2x = ;
∂f₁/∂y = (tại ( 1, 2 ))
Vì sao: hàng i chỉ quan tâm đầu ra fᵢ; mỗi cột là một biến đầu vào (x trước, y sau).
2
Hàng 2 = ∇f₂
đầu ra f₂
∂f₂/∂x = y = ;
∂f₂/∂y = x =
f₂ = x·y nên đạo hàm theo x là y, theo y là x (biến kia đóng vai hằng số nhân).
3
Gom thành J(1, 2)
2×2
J
Vị trí (i, j) = ∂fᵢ/∂xⱼ. Hàng trên = ∇f₁, hàng dưới = ∇f₂.
4
Ý nghĩa: biến đổi cục bộ
J·dx
Một nhiễu nhỏ dx = (Δx, Δy) đổi đầu ra ≈ J·dx (đúng phép ma trận × vectơ ở A8).
det J = hệ số phóng đại diện tích cục bộ; det J = 0 ⇒ lớp "ép phẳng" thông tin.
✎ Tự kiểm tra
f: ℝⁿ→ℝᵐ thì Jacobian kích thước gì? →
Mỗi hàng của Jacobian là gì? →
Làm toán AI ✍️ — Bài A15 · Ma trận JacobianTrang 1/2 · ĐỀ
Làm toán AI ✍️ · Toán × AI
ĐÁP ÁN
Bài A15
Ma trận Jacobian — lời giải
1
Hàng 1 = ∇f₁
∂f₁/∂x = 2x = 2 ; ∂f₁/∂y = 1
2
Hàng 2 = ∇f₂
∂f₂/∂x = y = 2 ; ∂f₂/∂y = x = 1
3
J(1, 2)
J
2
1
2
1
det J = 2·1 − 1·2 = 0
det J = 0 ⇒ tại điểm này lớp ép phẳng (suy biến).
▦
Sơ đồ: J biến hình vuông → hình bình hành
xấp xỉ cục bộ
Hai cột của J là ảnh của hai vectơ đơn vị: lam (2, 2) và cam (1, 1).
Diện tích vùng tô = |det J|. Vùng dẹt ⇒ thông tin bị nén.
✎ Tự kiểm tra — đáp án
Kích thước Jacobian? → m×n.
Mỗi hàng là? → Gradient của một thành phần đầu ra.
Rút ra. Jacobian = chồng các gradient = xấp xỉ tuyến tính cục bộ của hàm vectơ→vectơ; backprop nhân các Jacobian dọc
mạng. Hết phần giải tích nền. Bài tiếp (A16): sang xác suất — kỳ vọng & phương sai.
Làm toán AI ✍️ — Bài A15 · Ma trận JacobianTrang 2/2 · ĐÁP ÁN