Vì sao quan trọng. Một biến đổi tuyến tính làm rối mọi mũi tên, nhưng vài hướng đặc biệt giữ nguyên hướng, chỉ
dài/ngắn đi. Tìm được chúng = tìm "trục tự nhiên" của dữ liệu/hệ thống — đó là PCA, là cách ta hiểu một ma trận thực sự làm gì.
A·v = λ·v (v ≠ 0) ⇒ det(A − λI) = 0
λ² − (trace)·λ + (det) = 0 trace = a+d, det = ad − bc
💡 Trực giác
Nhân A vào hầu hết mũi tên thì chúng vừa xoay vừa co giãn. Nhưng có những hướng "ngoan" — nhân A chỉ làm chúng
dài ra hay ngắn lại đúng theo đường cũ. Hướng đó là vectơ riêng; tỉ lệ dài/ngắn là trị riêng λ.
0
Cho sẵn A (đối xứng)
2×2
A 2×2
2
1
1
2
A đối xứng (b = c) nên trị riêng luôn là số thực; ở đây chọn để ra số nguyên.
1
trace & det
tóm gọn A
trace = 2 + 2 = ;
det = 2·2 − 1·1 =
Vì sao: hai số này tóm gọn A vào đa thức đặc trưng — khỏi khai triển det(A − λI) đầy đủ.
2
Đa thức đặc trưng & giải λ
bậc hai
λ² − 4λ + 3 = 0 → λ =
,
Nhẩm nghiệm: tổng nghiệm = trace, tích nghiệm = det → tìm hai số cộng ra trace, nhân ra det.
3
Vectơ riêng của λ = 3
(A − λI)v = 0
A − 3I
−1
1
1
−1
·v = 0 → v = ( , )
Vì sao: λ làm A − λI suy biến (det = 0) nên hệ có nghiệm khác 0 — chính là vectơ riêng (lấy bội số gọn nhất).
✎ Tự kiểm tra
Vectơ riêng là gì? →
Ma trận 2×2 có tối đa mấy trị riêng? →
Làm toán AI ✍️ — Bài A11 · Trị riêng & vectơ riêngTrang 1/2 · ĐỀ
Làm toán AI ✍️ · Toán × AI
ĐÁP ÁN
Bài A11
Trị riêng & vectơ riêng — lời giải
1
trace & det
trace = 2 + 2 = 4 ;
det = 2·2 − 1·1 = 3
2
Trị riêng
λ² − 4λ + 3 = 0 → λ =
3 , 1
(tổng = 4, tích = 3)
3
Vectơ riêng
λ = 3: (A − λI) = [[−1, 1], [1, −1]]
→ v = ( 1, 1 )
λ = 1: vectơ riêng v = ( 1, −1 )
▦
Hình học: hướng không xoay
A·v = λv
A·v = 3·( 1, 1 ) = ( 3, 3 )
v (lam) và A·v (cam) cùng đường, A·v dài gấp λ = 3 lần. Một mũi tên thường (tím) bị xoay.
λ = 1 ⇒ hướng (1, −1) giữ nguyên độ dài.
✎ Tự kiểm tra — đáp án
Vectơ riêng? → Hướng mà A chỉ co giãn, không đổi hướng: A·v = λ·v.
Tối đa mấy trị riêng? → Hai (nghiệm đa thức bậc hai).
Rút ra. Trị riêng/vectơ riêng = "trục tự nhiên" và "hệ số co giãn" của một ma trận. PCA chọn hướng có trị riêng lớn nhất
(phương sai lớn nhất). Sang phần giải tích — Bài tiếp (A12): đạo hàm một biến, viên gạch của gradient.
Làm toán AI ✍️ — Bài A11 · Trị riêng & vectơ riêngTrang 2/2 · ĐÁP ÁN