Vì sao quan trọng. Mọi thứ trong AI chạy trên vectơ — một danh sách số. Trước khi nhân ma trận hay
chạy nơ-ron, bạn phải thạo ba phép tay cơ bản nhất: cộng, trừ và nhân với một số (vô hướng).
Chúng là viên gạch nhỏ nhất; cả lan truyền xuôi lẫn cập nhật trọng số đều chỉ là các phép này lặp lại.
a + b = (a1+b1, …, an+bn) ·
a − b = (a1−b1, …) ·
k·a = (k a1, …, k an)
💡 Trực giác
Hãy xem vectơ là một bước di chuyển trên lưới: a là "đi 2 sang phải, 1 lên". Cộng hai vectơ =
nối hai bước đi nối đuôi nhau (đi a xong đi tiếp b). Nhân với k = giữ nguyên hướng nhưng kéo dài/rút ngắn
gấp k lần (k âm thì quay ngược lại).
0
Cho sẵn
2 vectơ · 1 hệ số
a 1×3
2
1
3
b 1×3
1
4
2
hệ số k
2
Mọi phép dưới đây làm theo từng ô (element-wise): ô thứ i chỉ liên quan ô thứ i.
1
a + b
cộng từng ô
= (2+1, 1+4, 3+2)
= (, , )
Vì sao: cộng vectơ là gộp hai bước đi — tổng theo từng trục, kết quả vẫn là một vectơ cùng cỡ.
2
a − b
trừ từng ô
= (2−1, 1−4, 3−2)
= (, , )
Vì sao: a − b là vectơ đi từ b tới a. Sai số khi học chính là một phép trừ như vậy.
3
k · a
nhân với số
= (2·2, 2·1, 2·3)
= (, , )
Vì sao: nhân vô hướng chỉ đổi độ dài, không đổi hướng (trừ khi k âm → quay 180°).
4
k·a + b
tổ hợp tuyến tính
= (2·2+1, … , …)
= (, , )
Vì sao: "nhân rồi cộng" này chính là dạng W·x + b của một lớp tuyến tính (Bài C1).
▦
Sơ đồ: cộng vectơ nối đuôi (2D)
u + v
u = (3, 1) v = (1, 2)
u + v = (3+1, 1+2) = (, )
Mũi tên lam = u, tím = v
dời tới đầu u, cam = u+v. Đi u rồi đi v thì tới đúng điểm cam.
✎ Tự kiểm tra
Cộng hai vectơ 1×3 ra một vật thể cỡ nào? →
Nhân vectơ với k = −1 thì hướng của nó thay đổi ra sao? →
Làm toán AI ✍️ — Bài A1 · Vectơ: cộng, trừ, nhânTrang 1/2 · ĐỀ
Làm toán AI ✍️ · Toán × AI
ĐÁP ÁN
Bài A1
Vectơ: cộng, trừ, nhân — lời giải
1
a + b
a + b = (3, 5, 5)
2
a − b
a − b = (1, −3, 1)
3
k · a
k·a = (4, 2, 6)
4
k·a + b
k·a + b = (5, 6, 8)
▦
Cộng vectơ 2D
u + v = (4, 3)
Quy tắc "nối đuôi": dời gốc v tới đầu u, điểm cuối là u+v. Cùng kết quả với cộng từng ô.
✎ Tự kiểm tra — đáp án
Cộng hai vectơ 1×3 ra một vật thể cỡ nào? → một vectơ 1×3 (cùng cỡ)
Nhân với k = −1 thì hướng thế nào? → đảo ngược 180° (độ dài giữ nguyên)
Rút ra. Ba phép này — cộng, trừ, nhân vô hướng — là toàn bộ "số học" của vectơ.
Phép k·a + b ở Bước 4 chính là khuôn của một lớp tuyến tính (Bài C1), còn phép trừ a − b là cách ta
đo sai số khi huấn luyện. Bài kế tiếp (A2) dùng các ô này để đo độ dài một vectơ — chuẩn L1, L2.
Làm toán AI ✍️ — Bài A1 · Vectơ: cộng, trừ, nhânTrang 2/2 · ĐÁP ÁN